【初等矩阵的逆矩阵是初等矩阵】在线性代数中，初等矩阵是一个非常重要的概念。它们是通过对单位矩阵进行一次初等行（或列）变换得到的矩阵。初等矩阵在求解线性方程组、计算行列式以及矩阵的逆等方面具有重要作用。
一、初等矩阵的定义与类型
初等矩阵有三种基本类型，分别对应三种初等行变换：
| 类型 | 初等行变换 | 初等矩阵表示 |
| 1 | 交换两行 | $ E_{ij} $ |
| 2 | 将某一行乘以一个非零常数 $ k $ | $ E_i(k) $ |
| 3 | 将某一行加上另一行的 $ k $ 倍 | $ E_{ij}(k) $ |
二、初等矩阵的逆矩阵
一个重要性质是：初等矩阵的逆矩阵仍然是一个初等矩阵。这一结论可以从初等矩阵所代表的行变换出发进行理解。
具体来说：
- 对于第一种类型的初等矩阵 $ E_{ij} $（交换两行），其逆矩阵就是它本身，因为再次交换这两行就会恢复原矩阵。
- 对于第二种类型的初等矩阵 $ E_i(k) $（将第 $ i $ 行乘以 $ k $），其逆矩阵是将第 $ i $ 行乘以 $ \frac{1}{k} $ 的初等矩阵，即 $ E_i\left(\frac{1}{k}\right) $。
- 对于第三种类型的初等矩阵 $ E_{ij}(k) $（将第 $ j $ 行加上第 $ i $ 行的 $ k $ 倍），其逆矩阵是将第 $ j $ 行减去第 $ i $ 行的 $ k $ 倍的初等矩阵，即 $ E_{ij}(-k) $。
三、总结
通过上述分析可以看出，每一种初等矩阵的逆矩阵都对应于一种初等行变换，因此它们依然是初等矩阵。这一性质在线性代数中具有重要意义，特别是在矩阵求逆和矩阵分解的过程中。
| 初等矩阵类型 | 逆矩阵形式 | 是否为初等矩阵 |
| $ E_{ij} $ | $ E_{ij} $ | 是 |
| $ E_i(k) $ | $ E_i\left(\frac{1}{k}\right) $ | 是 |
| $ E_{ij}(k) $ | $ E_{ij}(-k) $ | 是 |
综上所述，初等矩阵的逆矩阵仍然是初等矩阵，这是由初等矩阵所代表的行变换的可逆性决定的。这一性质不仅简化了矩阵运算，也为进一步研究矩阵的结构提供了便利。