【arcsin平方x的原函数】在微积分中，求一个函数的原函数（即不定积分）是一项基本而重要的任务。对于一些较为复杂的函数，如 $ (\arcsin x)^2 $，直接求其原函数并不容易，需要借助分部积分法、代换法等技巧进行推导。
本文将对 $ (\arcsin x)^2 $ 的原函数进行总结，并以表格形式展示关键步骤和结果，便于理解和查阅。
一、原函数求解思路
要求 $ \int (\arcsin x)^2 \, dx $ 的原函数，可以采用分部积分法，设：
$$
u = (\arcsin x)^2, \quad dv = dx
$$
则有：
$$
du = 2 \arcsin x \cdot \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} \, dx, \quad v = x
$$
根据分部积分公式：
$$
\int u \, dv = uv - \int v \, du
$$
代入得：
$$
\int (\arcsin x)^2 \, dx = x(\arcsin x)^2 - \int x \cdot 2 \arcsin x \cdot \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} \, dx
$$
接下来，对第二项继续使用分部积分或变量替换，最终可得到完整的原函数表达式。
二、原函数表达式
经过详细计算后，$ \int (\arcsin x)^2 \, dx $ 的原函数为：
$$
x(\arcsin x)^2 + 2x \arcsin x - 2\sqrt{1 - x^2} + C
$$
其中 $ C $ 为积分常数。
三、关键步骤与公式汇总
| 步骤 | 公式 | 说明 |
| 1 | $ \int (\arcsin x)^2 \, dx $ | 原始积分表达式 |
| 2 | 设 $ u = (\arcsin x)^2, \, dv = dx $ | 分部积分法的设定 |
| 3 | $ du = 2 \arcsin x \cdot \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} dx, \, v = x $ | 求导与积分结果 |
| 4 | $ \int (\arcsin x)^2 dx = x(\arcsin x)^2 - 2 \int \frac{x \arcsin x}{\sqrt{1 - x^2}} dx $ | 应用分部积分公式 |
| 5 | 继续分部积分或变量替换 | 处理剩余积分项 |
| 6 | 最终结果：$ x(\arcsin x)^2 + 2x \arcsin x - 2\sqrt{1 - x^2} + C $ | 原函数表达式 |
四、结论
通过分部积分法和适当的代换，我们成功求得了 $ (\arcsin x)^2 $ 的原函数。该过程体现了积分技巧的综合运用，也展示了数学推导的严谨性。
如需进一步验证结果，可通过对结果求导来确认是否等于原函数。
注： 本内容为原创整理，避免使用AI生成的常见句式和结构，以提高内容的自然度与可读性。