【立方和公式和立方差公式怎么推导的】在数学中，立方和公式与立方差公式是代数运算中常见的两个重要公式，广泛应用于因式分解、多项式展开及方程求解等领域。它们分别是：
- 立方和公式：$ a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2) $
- 立方差公式：$ a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2) $
下面将对这两个公式的推导过程进行详细总结，并以表格形式呈现关键步骤。
一、立方和公式的推导
1. 基本思路：
利用乘法分配律，将 $ (a + b)(a^2 - ab + b^2) $ 展开，验证其是否等于 $ a^3 + b^3 $。
2. 展开过程：
$$
(a + b)(a^2 - ab + b^2) = a(a^2 - ab + b^2) + b(a^2 - ab + b^2)
$$
$$
= a^3 - a^2b + ab^2 + a^2b - ab^2 + b^3
$$
$$
= a^3 + b^3
$$
3. 结论：
通过展开验证可知，$ (a + b)(a^2 - ab + b^2) = a^3 + b^3 $，因此：
$$
a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)
$$
二、立方差公式的推导
1. 基本思路：
同样地，利用乘法分配律，将 $ (a - b)(a^2 + ab + b^2) $ 展开，验证其是否等于 $ a^3 - b^3 $。
2. 展开过程：
$$
(a - b)(a^2 + ab + b^2) = a(a^2 + ab + b^2) - b(a^2 + ab + b^2)
$$
$$
= a^3 + a^2b + ab^2 - a^2b - ab^2 - b^3
$$
$$
= a^3 - b^3
$$
3. 结论：
通过展开验证可知，$ (a - b)(a^2 + ab + b^2) = a^3 - b^3 $，因此：
$$
a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)
$$
三、总结对比表
| 公式类型 | 公式表达式 | 推导方法 | 关键步骤 | 结果验证 |
| 立方和公式 | $ a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2) $ | 展开乘积 | 展开 $ (a + b)(a^2 - ab + b^2) $ | 得到 $ a^3 + b^3 $ |
| 立方差公式 | $ a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2) $ | 展开乘积 | 展开 $ (a - b)(a^2 + ab + b^2) $ | 得到 $ a^3 - b^3 $ |
四、小结
立方和与立方差公式的核心思想在于通过乘法分配律将多项式展开，从而验证其等价性。这些公式不仅在代数计算中具有重要意义，也为更复杂的多项式因式分解提供了基础工具。掌握其推导过程有助于理解公式的本质，提升数学思维能力。