【单纯形法计算步骤详解】单纯形法是线性规划中用于求解最优解的一种经典算法，广泛应用于资源分配、生产计划等优化问题中。本文将对单纯形法的计算步骤进行详细说明，并通过表格形式进行总结，帮助读者更清晰地理解整个过程。
一、单纯形法概述
单纯形法是一种迭代算法，通过不断从一个可行解移动到另一个更优的可行解，最终找到目标函数的最大值或最小值。该方法基于标准线性规划模型：
$$
\text{最大化} \quad Z = c_1x_1 + c_2x_2 + \cdots + c_nx_n
$$
$$
\text{约束条件} \quad a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + \cdots + a_{1n}x_n \leq b_1 \\
a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + \cdots + a_{2n}x_n \leq b_2 \\
\vdots \\
a_{m1}x_1 + a_{m2}x_2 + \cdots + a_{mn}x_n \leq b_m \\
x_i \geq 0, \quad i = 1, 2, ..., n
$$
在使用单纯形法前，通常需要将不等式约束转化为等式约束，引入松弛变量或人工变量，构造初始可行基。
二、单纯形法计算步骤总结
以下是单纯形法的主要计算步骤，以表格形式展示：
| 步骤 | 操作内容 | 说明 |
| 1 | 建立初始单纯形表 | 将目标函数和约束条件整理成表格形式，包括系数矩阵、常数项和目标函数系数 |
| 2 | 确定初始基变量 | 选择松弛变量作为初始基变量，确保其对应列构成单位矩阵 |
| 3 | 计算检验数（Cj - Zj） | 对于每个非基变量，计算其对应的检验数，判断是否可以改进目标函数 |
| 4 | 判断是否最优 | 若所有检验数 ≤ 0（最大化问题），则当前解为最优解；否则继续迭代 |
| 5 | 选择入基变量 | 选取检验数最大的正数对应的变量作为入基变量 |
| 6 | 选择出基变量 | 用最小比值法则确定出基变量，即对于入基变量的列，计算 b_i / a_ij（a_ij > 0），取最小值对应的行 |
| 7 | 进行行变换 | 使用初等行变换，将入基变量对应的列变为单位列，更新单纯形表 |
| 8 | 重复迭代 | 重复步骤3至步骤7，直到所有检验数 ≤ 0 或无解 |
三、示例说明（简化版）
假设我们有如下线性规划问题：
$$
\text{最大化} \quad Z = 3x_1 + 5x_2
$$
$$
\text{约束条件} \quad x_1 + 2x_2 \leq 4 \\
3x_1 + 2x_2 \leq 6 \\
x_1, x_2 \geq 0
$$
引入松弛变量 $s_1$ 和 $s_2$，得到标准形式：
$$
\text{最大化} \quad Z = 3x_1 + 5x_2 + 0s_1 + 0s_2
$$
$$
x_1 + 2x_2 + s_1 = 4 \\
3x_1 + 2x_2 + s_2 = 6 \\
x_1, x_2, s_1, s_2 \geq 0
$$
初始单纯形表如下：
| 基变量 | x1 | x2 | s1 | s2 | RHS |
| s1 | 1 | 2 | 1 | 0 | 4 |
| s2 | 3 | 2 | 0 | 1 | 6 |
| Z | -3 | -5 | 0 | 0 | 0 |
经过几次迭代后，最终得到最优解：$x_1 = 1$, $x_2 = 1.5$, $Z = 10.5$
四、注意事项
- 单纯形法适用于标准形式的线性规划问题；
- 在实际应用中，可能需要处理退化、无界解等问题；
- 检验数的符号取决于目标函数是最大化还是最小化；
- 表格中的“RHS”表示右边常数项，“基变量”表示当前基中的变量。
五、总结
单纯形法是一种系统而高效的求解线性规划问题的方法，通过逐步调整基变量来逼近最优解。掌握其基本步骤和操作流程，有助于快速理解和应用该算法。通过表格形式的总结，可以更加直观地把握每一个关键环节，提高学习与实践效率。